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速度場が発散場の場合

速度場が発散場の場合, 例えば 2 次元では(18)式の右辺第 5 項 の展開を以下のようにする.

\begin{eqnarray*}
\DP[2]{\psi }{t}
&=& - \DP{}{x}\left
[u \left( -\DP{}{x}(u...
... \DP{}{y}\left[ v\psi \left(\DP{u}{y} + \DP{v}{x}\right)\right]
\end{eqnarray*}

よって(19)式は以下のように変更される.


$\displaystyle \left.\DP{\psi }{t}\right\vert _{i,j}^{n}$ $\textstyle =$ $\displaystyle -\left.\DP{}{x}(u\psi )\right\vert _{i,j}^{n}
-\left.\DP{}{y}(v\psi )\right\vert _{i,j}^{n}$  
    $\displaystyle + \DP{}{x}\left.\left[\frac{1}{2}(\vert u\vert\Delta x-\Delta t u...
...P{\psi }{x} - \frac{1}{2}\Delta t uv\DP{\psi }{y}\right]
\right\vert _{i,j}^{n}$  
    $\displaystyle + \DP{}{y}\left.\left[\frac{1}{2}(\vert v\vert\Delta y-\Delta t v...
...DP{\psi }{y} - \frac{1}{2}\Delta tuv\DP{\psi }{x}\right]
\right\vert _{i,j}^{n}$  
    $\displaystyle - \frac{1}{2}\left.\DP{}{x}\left[\Delta t u\psi
\left(\DP{u}{x} +...
...[\Delta t v\psi
\left(\DP{u}{x} + \DP{v}{y}\right)\right]\right\vert^{n}_{i,j}.$ (37)

反拡散速度は


$\displaystyle \tilde{u}$ $\textstyle \equiv$ $\displaystyle \frac{1}{\psi }
\left[\frac{1}{2}(\vert u\vert\Delta x-\Delta t u...
...\DP{\psi }{y}\right]
- \frac{1}{2}\Delta t u\left(\DP{u}{x} + \DP{v}{y}\right),$ (38)
$\displaystyle \tilde{v}$ $\textstyle \equiv$ $\displaystyle \frac{1}{\psi }
\left[\frac{1}{2}(\vert v\vert\Delta y-\Delta t v...
... \DP{\psi }{x}\right]
- \frac{1}{2}\Delta tv\left(\DP{u}{x} + \DP{v}{y}\right),$ (39)

となる. N 次元では


$\displaystyle \left.\DP{\psi }{t}\right\vert _{\Dvect{i}}^{n}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \sum _{I=1}^{N}\left.\DP{}{x^{I}}(u^{I}\psi )
\right\vert _{\Dvect{i}}^{n}$  
    $\displaystyle + \sum _{I=1}^{N}\DP{}{x^{I}}\left.\left[\frac{1}{2}
(\vert u^{I}...
...\frac{1}{2}\Delta t u^{I}u^{J}
\DP{\psi }{y}\right]\right\vert _{\Dvect{i}}^{n}$  
    $\displaystyle - \sum _{I=1}^{N}\DP{}{x^{I}}\left. \left[\left(
\frac{1}{2}\Delt...
...um _{J=1}^{N}\DP{u^{J}}{x^{J}}\right)
\psi \right]\right\vert _{\Dvect{i}}^{n},$ (40)

となって, 反拡散速度は


\begin{displaymath}
u_{d,\Dvect{i}}^{I} = \left.
0.5[\vert u^{I}\Delta x^{I}-\...
...{I}\sum _{J=1}^{N}\DP{u^{J}}{x^{J}}
\right\vert _{\Dvect{i}}
\end{displaymath} (41)

と表される.


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Odaka Masatsugu 平成18年2月10日