%表題  2 次元ブシネスク対流モデルの記述
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%履歴  95/08/18 竹広真一
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\Dtitle{2 次元ブシネスク対流モデルの記述}
\Dpath{/home/takepiro/bsnsq_2d/doc/}
\Ddate{\Dtoday \ (竹広 真一)}

\begin{document}


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\section{支配方程式}
  \subsection{支配方程式}

    熱伝導時間で規格化した 2 次元ブシネスク流体の方程式である. 

    \begin{eqnarray}
      &&  \DP{\zeta}{t} 
       \ = \  J(\psi, \zeta)
            -  P_r R_a \DP{\alpha T}{x}
            + P_r \Dlapla_{H} \zeta, \\
      &&   \DP{T}{t} 
       \ = \  J(\psi, T) + \Dlapla_{H}{T} + Q.
    \end{eqnarray}

    ただし $J(a,b)$ はヤコビアン
    \begin{eqnarray}
      J(a,b) &\equiv& \DP{a}{x}\DP{b}{z} - \DP{a}{z}\DP{b}{x},
    \end{eqnarray}
    である. 
  
  \subsection{流線関数, 速度場, 渦度}

    速度場($x,z$ 成分) $u,w$ は
    流線関数 $\psi$ から次のように計算される. 
    \begin{eqnarray}
      u & = & \DP{\psi}{z} \\
      w & = & - \DP{\psi}{x} \\
    \end{eqnarray}

    したがって渦度の $y$ 方向成分 $\zeta = \DP{u}{z}-\DP{w}{x}$ と
    流線関数は
    \begin{equation}
      \Dlapla_{H} \psi = \zeta, 
    \end{equation}
    と表わされる. $\zeta$ と境界条件を用いてポアソン方程式を解くことに
    より流線関数が計算される. 

  \subsection{境界条件}

    水平方向の境界は周期的境界条件を用いる. 

    鉛直方向の
    運動学, 力学的境界条件は 
    $z=0,d$ にて流体が壁を通り抜けない条件
    \footnote{初期値として全水平運動量が 0 のものを
      与えなければならない}
    \begin{eqnarray}
       \left. \psi \right|_{z_=0,d} & = & 0, \\
       \left. \DP[2]{\psi}{z} \right|_{z=0,d} & = & \\
       \left. \zeta \right|_{z=0,d} & = & 0
    \end{eqnarray}
    を用いる. 

    熱的境界条件は温度固定, あるいは熱フラックス固定の 2 種類考える. 

    \begin{enumerate}
      \item 温度固定
        \begin{equation}
          \left. T \right|_{z=0, \mbox{\rm \ or},\ d}  = 
          \left. T_{B} \right|_{z=0, \mbox{\rm \ or},\ d} 
        \end{equation}
        $T_{B}$ は境界で固定される温度である.
      \item 熱フラックス固定
        \begin{equation}
          \left. - \kappa \DP{T}{z}
          \right|_{z=0, {\rm \ or},\ d}  = 
          \left. F_{B} \right|_{z=0, {\rm \ or},\ d} 
        \end{equation}
        $F_{B}$ は境界で固定される熱フラックスの値である.
    \end{enumerate}

\section{離散化}
  \subsection{座標}
     内部領域に 
     $x$ 方向に {\tt NX} 個, $z$ 方向に {\tt NZ} 個のグリッドポイント
     を設定し, 物理量(渦度, 流線関数, 温度)を計算する. 

  \subsection{線型項}
  \subsection{非線型項}

\section{時間積分}

\end{document}