kが負の整数でないと仮定すると、
Bernstein多項式は
bernstein_poly(k,n,x) = binomial(n,k) x^k (1-x)^(n-k)で定義されます;
負の整数kに対しては、Bernstein多項式 bernstein_poly(k,n,x)は零です。
kか nのどちらかが非整数の時、
オプション変数 bernstein_explicitは
Bernstein多項式の明示形式への展開を制御します。
例:
(%i1) load("bernstein")$
(%i2) bernstein_poly(k,n,x);
(%o2) bernstein_poly(k, n, x)
(%i3) bernstein_poly(k,n,x), bernstein_explicit : true;
n - k k
(%o3) binomial(n, k) (1 - x) x
Bernstein多項式はgradefプロパティとintegrateプロパティの両方を持ちます:
(%i4) diff(bernstein_poly(k,n,x),x);
(%o4) (bernstein_poly(k - 1, n - 1, x)
- bernstein_poly(k, n - 1, x)) n
(%i5) integrate(bernstein_poly(k,n,x),x);
(%o5)
k + 1
hypergeometric([k + 1, k - n], [k + 2], x) binomial(n, k) x
----------------------------------------------------------------
k + 1
実数と複素数両方の数値入力に対して、 Bernstein多項式は数値結果に評価されます:
(%i6) bernstein_poly(5,9, 1/2 + %i);
39375 %i 39375
(%o6) -------- + -----
128 256
(%i7) bernstein_poly(5,9, 0.5b0 + %i);
(%o7) 3.076171875b2 %i + 1.5380859375b2
bernstein_polyを使うには、最初に load("bernstein")。
デフォルト値: false
kか nのどちらかが非整数の時、
オプション変数 bernstein_explicitは
Bernstein多項式の明示形式への展開を制御します; 例えば:
(%i1) bernstein_poly(k,n,x);
(%o1) bernstein_poly(k, n, x)
(%i2) bernstein_poly(k,n,x), bernstein_explicit : true;
n - k k
(%o2) binomial(n, k) (1 - x) x
kと nの両方が明示的に整数の時、
bernstein(k,n,x)は いつも明示形式に展開されます。
マルチBernstein多項式 multibernstein_poly ([k1, k2, ...,
kp], [n1, n2, ..., np], [x1, x2, ..., xp])
Bernstein多項式 bernstein_poly(k1, n1, x1)
bernstein_poly(k2, n2, x2) ... bernstein_poly(kp, np, xp)の積です。
multibernstein_polyを使うには、最初に load("bernstein")。
関数 (x1, x2, ..., xn) |--> fの
n次の一様Bernstein多項式近似を返します。
例
(%i1) bernstein_approx(f(x),[x], 2);
2 1 2
(%o1) f(1) x + 2 f(-) (1 - x) x + f(0) (1 - x)
2
(%i2) bernstein_approx(f(x,y),[x,y], 2);
2 2 1 2
(%o2) f(1, 1) x y + 2 f(-, 1) (1 - x) x y
2
2 2 1 2
+ f(0, 1) (1 - x) y + 2 f(1, -) x (1 - y) y
2
1 1 1 2
+ 4 f(-, -) (1 - x) x (1 - y) y + 2 f(0, -) (1 - x) (1 - y) y
2 2 2
2 2 1 2
+ f(1, 0) x (1 - y) + 2 f(-, 0) (1 - x) x (1 - y)
2
2 2
+ f(0, 0) (1 - x) (1 - y)
bernstein_approxを使うには、最初に load("bernstein")。
多項式 eを
多変数Bernstein多項式の線形結合として厳密に表します。
(%i1) bernstein_expand(x*y+1,[x,y]); (%o1) 2 x y + (1 - x) y + x (1 - y) + (1 - x) (1 - y) (%i2) expand(%); (%o2) x y + 1
一番目の引数が多項式でない時、Maximaはエラーをシグナルします。
bernstein_expandを使うには、最初に load("bernstein")。